Esercizio 8 (ancora su calcolo di volume)

Calcolare il volume del solido che giace sotto la superficie z=4-(x^2)-(y^2), sopra il piano xy (z=0) e dentro il cilindro (((x-1))^2)+(y^2)=1

SlideView[{ContourPlot3D[{z== 4-(x^2)-(y^2),z==0,(((x-1))^2)+(y^2)==1},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,4},Mesh->None,ContourStyle->{Opacity[0.6]},ImageSize->500],RegionPlot3D[z≤  4-(x^2)-(y^2)&&z≥ 0&&(((x-1))^2)+(y^2)≤ 1,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,4},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.6]},PlotPoints->50,ImageSize->500]}]

Calcoliamo prima il volume con queste coordinate

Integrate[Boole[z≤  4-(x^2)-(y^2)&&z≥ 0&&(((x-1))^2)+(y^2)≤ 1],{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,4}]

Si può integrare per fili paralleli all’asse z. Chiaramente la proiezione (E) del solido sul piano xy è il disco di centro (1,0) e raggio 1. Le xy sezioni (i fili) sono dati da 0≤z≤4-(x^2)-(y^2) per ogni (x,y) ∈E. Dobbiamo quindi calcolare l’integrale (∫_E)((∫_0^(4-(x^2)-(y^2)))dz)dxdy=(∫_E)4-(x^2)-(y^2)dxdy, E={(x,y):(((x-1))^2)+(y^2)≤ 1}. Lo calcoleremo in coordinate polari (appare (x^2)+(y^2) ed E sembra prestarsi bene per questo cambio di variabili). x=r Cos(θ), y=r Sin(θ). Il determinante dello Jacobiamo della trasformazione è r. Dobbiamo vedere chi è l’antimmagine di E tramite la trasformazione (ovvero dove “vivono” r e θ).

Manipulate[Grid[{{"x,y","θ,r"},{Show[RegionPlot[(((x-1))^2)+(y^2)≤ 1,{x,0,2},{y,-1,1},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{R Cos[t],R Sin[t]},{R,0.0001,2 Cos[t]}],ListPlot[{{0,0},{2 Cos[t] Cos[t],2 Cos[t]  Sin[t]},{r Cos[t],r Sin[t]}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]},{Red,PointSize[0.02]}}],ImageSize->400],Show[RegionPlot[-Pi/2≤T≤ Pi/2&&0≤ r≤ 2 Cos[T],{T,-Pi,Pi},{r,0,2},ImageSize->400,PerformanceGoal->"Quality"],ListPlot[{{t,0},{t,2 Cos[t] },{t,r}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]},{Red,PointSize[0.02]}}],ParametricPlot[{t,R},{R,0.0001,2 Cos[t]}]]}}],{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0.00001,2 Cos[t]}]

L’antimmagine tramite la trasformazione è E'={(r,θ)∈(ℝ^2):-(π/2)≤ θ≤(π/2) , 0≤ r≤ 2 Cos(θ)}. L’integrale è quindi (∫_(E'))(4-(r^2))rdrdθ=(∫_(-(π/2))^(π/2))(∫_0^(2Cos(θ)))(4-(r^2))rdr)dθ

Integrate[Integrate[(4-(r^2)) r,{r,0,2 Cos[t]}],{t,-Pi/2,Pi/2}]

Integrale di linea di un campo scalare

Visualizziamo cosa succede quando integriamo un campo scalare (una funzione f:(ℝ^2)->ℝ, una rappresentazione come quella che faremo per funzioni f:(ℝ^3)->ℝ è più difficile da rappresentare) lungo una curva γ⊆(ℝ^2). Sia f rappresentata da un gradiente di colore

Grid[{{Show[DensityPlot[(x^2)+y-Cos[x]+3 (y^2)-10,{x,0,3},{y,0,3},ColorFunction->Function[{z},Hue[z]],ImageSize->400],ParametricPlot[{0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]),Cos[t]+2 Sin[t]},{t,0,1},PlotStyle->{Blue,Thick}],ListPlot[{{0.1,1},{0.1+1+Sin[1]+0.5,Cos[1]+2 Sin[1]}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]},{Red,PointSize[0.02]}}]],Show[Plot3D[(x^2)+y-Cos[x]+3 (y^2)-10,{x,0,3},{y,0,3},ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[z]],ImageSize->500,Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.8]}],ParametricPlot3D[{0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]),Cos[t]+2 Sin[t],Cos[t]-Cos[0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]]+2 Sin[t]+(((0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]))^2)+3 (((Cos[t]+2 Sin[t]))^2)-10},{t,0,1},PlotStyle->{Orange,Thick}],ParametricPlot3D[{0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]),Cos[t]+2 Sin[t],0},{t,0,1},PlotStyle->{Blue,Thick}],ListPointPlot3D[{{0.1,1,0},{0.1+1+Sin[1]+0.5,Cos[1]+2 Sin[1],0}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]},{Red,PointSize[0.02]}}],ListPointPlot3D[{{0.1,1,-10+3.014995834721974`},{0.1+1+Sin[1]+0.5,Cos[1]+2 Sin[1],-10+23.77723397100131`}},PlotStyle->{{Purple,PointSize[0.02]},{Purple,PointSize[0.02]}}],Plot3D[0,{x,0,3},{y,0,3},Mesh->None,PlotStyle->{Cyan,Opacity[0.3]}]],Manipulate[Show[ParametricPlot3D[{(1-m) (0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]))+(m) (0.1+t*(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))* (1.6+Sin[1]-0.1)),(1-m)  (Cos[t]+2 Sin[t])+(m) (1+t *(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))*(Cos[1]+2 Sin[1]-1)),Cos[t]-Cos[0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]]+2 Sin[t]+(((0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]))^2)+3 (((Cos[t]+2 Sin[t]))^2)-10},{t,0,1},PlotStyle->{Orange,Thick}],ListPointPlot3D[{{0.1,1,0},{(1-m) (0.1+1+Sin[1]+0.5)+m*(0.1+(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))* (1.6+Sin[1]-0.1)),(1-m) (Cos[1]+2 Sin[1])+m*(1+(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))*(Cos[1]+2 Sin[1]-1)) ,0}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]},{Red,PointSize[0.02]}}],ListPointPlot3D[{{0.1,1,-10+3.014995834721974`},{0.1+1+Sin[1]+0.5,Cos[1]+2 Sin[1],-10+23.77723397100131`}},PlotStyle->{{Purple,PointSize[0.02]},{Purple,PointSize[0.02]}}],Plot3D[0,{x,0,3},{y,0,3},Mesh->None,PlotStyle->{Cyan,Opacity[0.1]},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot3D[{(1-m) (0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]))+(m) (0.1+t*(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))* (1.6+Sin[1]-0.1)),(1-m)  (Cos[t]+2 Sin[t])+(m) (1+t *(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))*(Cos[1]+2 Sin[1]-1)),z},{t,0,1},{z,0,Cos[t]-Cos[0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]]+2 Sin[t]+(((0.1` +0.5` (Sqrt[t])+t+Sin[t]))^2)+3 (((Cos[t]+2 Sin[t]))^2)-10},Mesh->None,PlotStyle->{Gray},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot3D[{(1-m) (0.1+t+Sin[t]+0.5  (Sqrt[t]))+(m) (0.1+t*(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))* (1.6+Sin[1]-0.1)),(1-m)  (Cos[t]+2 Sin[t])+(m) (1+t *(((2.66476089301299`)/(2.641744296899583`)))*(Cos[1]+2 Sin[1]-1)),0},{t,0,1},PlotStyle->{Blue,Thick}],BoxRatios->{1,1,0.5},ImageSize->500,Axes->False,Boxed->False,PlotRange->{{0,3},{0,3},{-10,20}}],{m,0,1}]}}]

Esercizio 10

Calcolare l’integrale curvilineo I=(∫_γ)fds, dove f e γ saranno via via date.
a) f(x,y,z)=(((x^2)y)/z), γ parametrizzata da r(t)=(3t,3(t^2),2(t^3)), t∈[1,2]

ParametricPlot3D[{3 t,3 (t^2),2 (t^3)},{t,1,2},ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[0.2 (x^2) y/z]],PlotStyle->{Tube[0.06]},ImageSize-> 300,BoxRatios->{1,1,1}]

FullSimplify[Norm[D[{3 t,3 (t^2),2 (t^3)},t]],Assumptions->t>0]

Integrate[((27 t)/2) (3+6 t),{t,1,2}]

b) f(x,y,z)=-2((xe)^z), γ parametrizzata da r(t)=(Cos(t),Sin(t),t), t∈[0,π]

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t},{t,0,Pi},ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[-2 x Exp[z] 0.2]],PlotStyle->{Tube[0.02]},ImageSize-> 300,BoxRatios->{1,1,1}]

FullSimplify[Norm[D[{Cos[t],Sin[t],t},t]],Assumptions->t>0]

Integrate[-2 (Sqrt[2]) Cos[t] Exp[t],{t,0,Pi} ]

c) f(x,y,z)=Log(x+y+z) e γ è il segmento che congiunge (1,0,1) a (0,2,3). Una parametrizzazione di γ è ad esempio s(1,0,1)+(1-s)(0,2,3) con s∈[0,1]. In altre parole (s,2-2s, 3-2s).

Show[ParametricPlot3D[{s,2-2 s,3-2 s},{s,0,1},ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[Log[x+y+z] 0.2]],PlotStyle->{Tube[0.01]},ImageSize-> 300,BoxRatios->{1,1,1}],ListPointPlot3D[{{1,0,1},{0,2,3}},PlotStyle->{{Blue,PointSize[0.03]}}]]

FullSimplify[Norm[D[{s,2-2 s,3-2 s},s]],Assumptions->s>0]

Integrate[3 Log[s+2-2 s+3-2 s],{s,0,1}]

FullSimplify[5 Log[5]-5-2 Log[2]+2]

d) f(x,y,z)= (Sqrt[1-xy]) e γ è l’intersezione tra il cilindro (x^2)+(y^2)=1 e il piano x+y+z=1. Si vede che possiamo parametrizzare prima le coordinate x ed y che si stanno muovendo sulla circonferenza unitaria, quindi x=Cos(θ), y=Sin(θ). Per quanto riguarda la coordinata z, da z=1-x-y segue che z=1-Cos(θ)-Sin(θ).

Manipulate[Show[ContourPlot3D[{(x^2)+(y^2)==1,x+y+z==1},{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},{z,-1,3},Mesh->None,ContourStyle->{Opacity[0.6]}],ParametricPlot3D[{ Cos[T],  Sin[T],1- (Cos[T]+Sin[T])},{T,0,t},PlotStyle->{Red,Tube[0.025]}],ImageSize->500],{t,0.0001,2 Pi}]

FullSimplify[Norm[D[{Cos[t],Sin[t],1-Cos[t]-Sin[t]},t]],Assumptions->t>0]

Integrate[(Sqrt[1-Cos[t] Sin[t]]) (Sqrt[2-2 Cos[t] Sin[t]]),{t,0,2 Pi}]

Esercizio 11

Un filo γ di densità lineare di massa costante è dislocato lungo la cicloide r(t)=(t-Sin(t), 1-Cos(t)), t∈[0,2π]. Calcolare le coordinate del baricentro di γ.

ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,2 Pi},PlotStyle->{Orange,Thick},ImageSize-> 500]

In pratica viene chiesto di calcolare (((∫_γ)xds)/((∫_γ)ds)) e (((∫_γ)yds)/((∫_γ)ds)) che sono le coordinate del baricentro di γ.

FullSimplify[Norm[D[{t-Sin[t],1-Cos[t]},t]],Assumptions->t>0]

Integrate[2 Abs[Sin[(t/2)]],{t,0,2 Pi}]

Integrate[2 (t-Sin[t]) Sin[t/2],{t,0,2  Pi}]

Integrate[2( 1-Cos[t])  Sin[t/2],{t,0,2 Pi}]

Per cui il baricentro ha coordinate (π,(4/3))

Show[ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,2 Pi},PlotStyle->{Orange,Thick},ImageSize-> 500],ListPlot[{{Pi,4/3}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}]]

Esercizio 3.6 (lunghezza dell’asteroide)

Disegnare la curva (asteroide) A:={(x,y)∈(ℝ^2):|x((|)^(2/3))+|y((|)^(2/3))=(a^(2/3)),a>0}. Vediamo dal disegno che la curva è simmetrica rispetto agli assi e alle bisettrici del primo/terzo e secondo/quarto quadrante. Fissiamo a = 1.

ContourPlot[((Abs[x])^(2/3))+((Abs[y])^(2/3))== 1,{x,-1,1},{y,-1,1},ContourStyle->{Red,Thick}]

E’ chiaro che per calcolarne la lunghezza basta calcolare la lunghezza della porzione che è nel primo quadrante e moltiplicarla per quattro. Nel primo quadrante possiamo scrivere y=(((1-(x^(2/3))))^(3/2)). Una parametrizzazione è quindi (x, (((1-(x^(2/3))))^(3/2)))

FullSimplify[Integrate[Norm[D[{x,(((1-(x^(2/3))))^(3/2))},x]],{x,0,1}],Assumptions->{x>0&&y>0}]

Quindi la lunghezza è 6. Però vediamo che la lo Jacobiano della parametrizzazione non è definito in x=0 (la derivata di y(x) esplode). Non per questo però la lunghezza non può essere calcolata. Una parametrizzazione che si “comporta bene” ad esempio è la seguente x=(cos^3)(θ), y=(sin^3)(θ) (ricorda la parametrizzazione con l’angolo del cerchio, in effetti il tipo di curva è simile)

Manipulate[ParametricPlot[{((Cos[t])^3),((Sin[t])^3)},{t,0,T},PlotStyle->{Red,Thick},PlotRange->{{-1,1},{-1,1}}],{T,0.0001,2 Pi}]

Possiamo anche cambiare gli esponenti e ottenere nuove curve

e=5;

Manipulate[Show[ParametricPlot[{((Cos[t])^e),((Sin[t])^e)},{t,0,T},PlotStyle->{Red,Thick},PlotRange->{{-1,1},{-1,1}}],ListPlot[{{((Cos[T])^e),((Sin[T])^e)}},PlotStyle->{Blue,PointSize[0.02]}]],{T,0.0001,2 Pi}]

Integrali di linea di campi vettoriali

Consideriamo un campo vettoriale F:(ℝ^2)->(ℝ^2) (il discorso vale anche per campi vettoriali F:(ℝ^n)->(ℝ^n)) ed una curva γ:ℝ->(ℝ^2), ad esempio

SlideView[{Show[VectorDensityPlot[{x,-y},{x,-4,3},{y,-3,3}],ParametricPlot[{t Cos[t],t Sin[t]},{t,0,Pi},PlotStyle->{Red,Thick}],ListPlot[{{0,0},{-Pi,0}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],ImageSize->400],Show[VectorDensityPlot[{x,-y},{x,-4,3},{y,-3,3}],ParametricPlot[{t Cos[t],t Sin[t]},{t,0,Pi},PlotStyle->{Red,Thick}],ListPlot[{{0,0},{-Pi,0}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],VectorPlot[{x,-y},{x,-3,3},{y,-3,3},VectorPoints->Table[{(t/10) Cos[(t/10)],(t/10) Sin[(t/10)]},{t,0,10 Pi}],VectorColorFunction->Hue,VectorStyle->"PinDart",VectorScale->.15,Epilog->{Red,PointSize[Medium],Point[Table[{(t/10) Cos[(t/10)],(t/10) Sin[(t/10)]},{t,0,10 Pi}]]}],ImageSize->400]}]

Integriamo lungo γ il prodotto scalare tra F e il vettore unitario tangente a γ, ((γ')/(|γ'|)). Esso dà ad ogni istante t il modulo della componente della forza nella direzione dello spostamento (con segno positivo se la forza agisce nella direzione dello spostamento, negativo viceversa). Questa quantità integrata lungo tutta la curva γ fornisce il lavoro compiuto dalla forza F lungo tutto lo spostamento su γ (se γ è parametrizzata da γ(t), t∈[a,b], il verso dello spostamento è quello che va da γ(a) verso γ(b).

Manipulate[Grid[{{Show[ParametricPlot[{t Cos[t],t Sin[t]},{t,0,Pi},PlotStyle->{Red,Thick}],ListPlot[{{0,0},{-Pi,0}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],Graphics[{Blue,Thick,Arrow[{{s Cos[s],s Sin[s]},{2 s Cos[s],0}}]}],Graphics[{Purple,Arrow[{{s Cos[s],s Sin[s]},{ s Cos[s]+(((-s Sin[s]+Cos[s]))/(Sqrt[1+(s^2)])),s Sin[s]+(((s Cos[s]+Sin[s]))/(Sqrt[1+(s^2)]))}}]}],ImageSize->500,PlotRange->{{-7,1},{-2,3}},AspectRatio->Automatic],Show[ContourPlot3D[z==0,{x,-4,3},{y,-3,3},{z,-2,8},ContourStyle->{Opacity[0.3]},Mesh->None],ParametricPlot3D[{x Cos[x],x Sin[x],0},{x,0,Pi},PlotStyle->{Red,Tube[0.03]}],ParametricPlot3D[{x Cos[x],x Sin[x],(((-2 (x^2) Cos[ x] Sin[x]+x  Cos[2 x]))/(Sqrt[1+(x^2)]))},{x,0,Pi},PlotStyle->{Orange,Tube[0.03]}],ParametricPlot3D[{r Cos[r],r Sin[r],z},{r,0, s},{z,0,(((-2 (r^2) Cos[r] Sin[r]+r  Cos[2 r]))/(Sqrt[1+(r^2)]))},Mesh->None,PlotStyle->{Gray,Opacity[0.4]},PerformanceGoal->"Quality"],ListPointPlot3D[{{s Cos[s],s Sin[s],((-2 (s^2) Cos[ s] Sin[s]+s Cos[2 s])/(Sqrt[1+(s^2)]))}},PlotStyle->{PointSize[0.02]},AspectRatio->Automatic],ImageSize->500,PlotRange->{-2,8}]}}],{s,0.0001, Pi}]

Integrare F·((γ')/(|γ'|)) lungo γ vuol dire ((∫_a)^b)F(γ(t))·((γ'(t))/(|γ'(t)|))|γ'(t)|dt=((∫_a)^b)F(γ(t))·γ'(t)dt

L=(1/2) (π (Sqrt[1+(π^2)])+ArcSinh[π]);

Grid[{{Show[Plot[-2 (s^2) Cos[ s] Sin[s]+s Cos[2 s],{s,0,Pi},PlotStyle->{Orange,Thick}],ParametricPlot[{s,y},{s,0,Pi},{y,0,-2 (s^2) Cos[ s] Sin[s]+s Cos[2 s]},Mesh->None,PlotPoints->30],ImageSize->500],Manipulate[Show[ParametricPlot3D[{(1-m) (t Cos[t])-m (((L t)/Pi)),(1-m)  (t  Sin[t]),((-2 (t^2) Cos[ t] Sin[t]+t Cos[2 t])/(Sqrt[1+(t^2)]))},{t,0,Pi},PlotStyle->{Orange,Thick}],ParametricPlot3D[{(1-m) (t Cos [t])-m (((L t)/Pi)),(1-m)  (t Sin[t]),z},{t,0,Pi},{z,0,((-2 (t^2) Cos[ t] Sin[t]+t Cos[2 t])/(Sqrt[1+(t^2)]))},Mesh->None,PlotStyle->{Gray},PerformanceGoal->"Quality",PlotPoints->30],ParametricPlot3D[{(1-m) (t Cos[t])-m (((L t)/Pi)),(1-m) * (t Sin[t]),0},{t,0,Pi},PlotStyle->{Blue,Thick}],ContourPlot3D[z==0,{x,-7,1},{y,-1,2},{z,-2,8},ContourStyle->{Opacity[0.3]},Mesh->None],ImageSize->400,Axes->False,Boxed->False,PlotRange->{{-7,1},{-1,2},{-2,6}}],{m,0,1}]}}]

Integrali di superficie

Esercizio 7.47

Sia a>0 fissato. Sia D⊆(ℝ^2) così definito: D={(θ,φ)∈(ℝ^2):θ∈[0,π], φ∈[α,β]} e sia p la parametrizzazione p(θ,φ)=(a sin(θ)sin(φ) , a sin(θ)sin(φ) , a cos(θ)). Calcolare l’area di D. Calcolare l’area della calotta nord (fissiamo a=1).

Manipulate[ParametricPlot3D[{Sin[t] Cos[f], Sin[t] Sin[f], Cos[t]},{t,0.0001,Pi-T},{f,a,b},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.6]},PlotRange->{{-1,1},{-1,1},{-1,1}},PerformanceGoal->"Quality"],{b,0.001,2 Pi},{a,0.00001,2 Pi-0.0001},{T,0.00001,Pi}]

Troviamo l’elemento d’area superficiale e integriamo

FullSimplify[Norm[Minors[{D[{Sin[t] Cos[f],Sin[t] Sin[f],Cos[t]},t],D[{Sin[t] Cos[f],Sin[t] Sin[f],Cos[t]},f]},2]],Assumptions->t>0&&f>0]

Integrate[Abs[Sin[t]],{f,a,b},{t,0,Pi}]

Simplify[Integrate[Abs[Sin[t]],{f,0,2 Pi},{t,0,ArcCos[h]}],Assumptions->0<h<1]

Esercizio 7.49

Trovare l’area laterale del solido V={(x,y,z)∈(ℝ^3):(x^2)+(y^2)+(z^2)<(((2a))^2),(x^2)+(y^2)-2ax<0} dove  a>0 è fissato (sia a=1). Il solido è l’intersezione tra un cilindro di base il disco di centro (a,0) sul piano xy e raggio 1, e la sfera centrata nell’origine e di raggio 2. Come si vede la superficie laterale non ha una descrizione unica e dovremmo considerarne vari pezzi.

SlideView[{ContourPlot3D[{(x^2)+(y^2)+(z^2)==  4,(x^2)+(y^2)-2 x== 0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},Mesh->None,ContourStyle->Opacity[0.6],AspectRatio->Automatic,ImageSize->500],RegionPlot3D[(x^2)+(y^2)+(z^2)≤ 4&&(x^2)+(y^2)-2 x≤0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.6],AspectRatio->Automatic,ImageSize->500,PlotPoints->60]}]

Abbiamo una parte della superficie che si trova sulla superficie sferica e all’interno del cilindro:

Show[ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],(Sqrt[4-(r^2)])},{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2 Cos[t]},Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.6],AspectRatio->Automatic,ImageSize->300,PlotPoints->50],ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],-(Sqrt[4-(r^2)])},{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2 Cos[t]},Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.6],AspectRatio->Automatic,ImageSize->300,PlotPoints->50],PlotRange->All]

Un’altra parte di superficie si trova sulla superficie del cilindro e dentro la sfera:

ParametricPlot3D[{2 ((Cos[t])^2), 2 Cos[t]  Sin[t],z},{t,-Pi/2,Pi/2},{z,-2 Abs[Sin[t]],2 Abs[Sin[t]]},Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.6],AspectRatio->Automatic,ImageSize->300,PlotPoints->50]

E’ chiaro che queste due parti della superficie avranno una parametrizzazione differente e dovremo calcolare separatamente l’area. Usiamo innanzitutto le coordinate cilindriche in (ℝ^3) :(r cos(θ),r sin(θ),z). A seconda dei casi riusciremo a legare una di queste tre coordinate alle altre (in modo da ottenere una parametrizzazione, che è un diffeomorfismo da un aperto di (ℝ^2) alla varietà che stiamo parametrizzando:quindi abbiamo bisogno di due sole variabili per descrivere la superficie). Nel primo caso si vede che la parametrizzazione è (rcos(θ),rsin(θ),±(Sqrt[4-(r^2)])) (il ± sta ad indicare la parametrizzazione della falda superiore e di quella inferiore, quindi abbiamo un’ulteriore suddivisione di questa superficie), dove θ∈[-(π/2),(π/2)], r∈[0,2 cos(θ)]. Nel secondo caso una parametrizzazione è (2 (cos^2)(θ),2sin(θ)cos(θ),z), dove  θ∈[-(π/2),(π/2)], z∈[-2|sin(θ)|,2|sin(θ)|]. Troviamo gli elementi di superficie dei vari pezzi e calcoliamo l’area

FullSimplify[Norm[Minors[{D[{r Cos[t],r Sin[t] ,(Sqrt[4-(r^2)])},t],D[{r Cos[t],r Sin[t],(Sqrt[4-(r^2)])},r]},2]],Assumptions->0<r<2&&t∈Reals]

FullSimplify[Norm[Minors[{D[{r Cos[t],r Sin[t] ,-(Sqrt[4-(r^2)])},t],D[{r Cos[t],r Sin[t],(Sqrt[4-(r^2)])},r]},2]],Assumptions->0<r<2&&t∈Reals]

Integrate[Integrate[((2 r)/(Sqrt[4-(r^2)])),{r,0,2 Cos[t]}],{t,-Pi/2,Pi/2}]

FullSimplify[Norm[Minors[{D[{2  ((Cos[t])^2),2 Cos[t] Sin[t] ,z},t],D[{2  ((Cos[t])^2),2 Cos[t] Sin[t] ,z},z]},2]],Assumptions->-2<z<2&&t∈Reals]

Integrate[Integrate[2,{z,-2 Abs[Sin[t]],2 Abs[Sin[t]]}],{t,-Pi/2,Pi/2}]

Area=FullSimplify[2*4 (-2+π)+16]

Esercizio 7.58

Dato l’arco di cicloide di equazioni parametriche x=a(θ+sin(θ)), y=a(1+cos(θ)), θ∈[-π,π] (a>0 fissata, poniamo qui a=1), trovare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all’asse y la parte di piano compresa tra l’asse x e la curva, e l’area superficiale di esso.

ParametricPlot[{(1-s) (t+Sin[t]) ,(1-s) ( 1+Cos[t])},{t,-Pi,Pi},{s,0,1},Mesh->None,ImageSize->500]

Manipulate[Show[ParametricPlot3D[{(1-s) (t+Sin[t]) Cos[T] ,(1-s) ( 1+Cos[t]) ,(1-s) (t+Sin[t])   Sin[T]},{t,0,Pi},{s,0,1},PlotRange->{{-Pi,Pi},{-1,2},{-Pi,Pi}},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.8]}],ParametricPlot3D[{r Cos[t],0,r Sin[t]},{r,0,Pi},{t,0,T},PerformanceGoal->"Quality",PlotRange->{{-Pi,Pi},{-1,2},{-Pi,Pi}},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.8]}],ParametricPlot3D[{(1) (t+Sin[t]) Cos[l] ,(1) ( 1+Cos[t]) ,(1) (t+Sin[t])   Sin[l]},{t,0,Pi},{l,0,T},PerformanceGoal->"Quality",PlotRange->{{-Pi,Pi},{-1,2},{-Pi,Pi}},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.8]}],ContourPlot3D[{z==0,y==0},{x,-Pi,Pi},{y,-1,2},{z,-Pi,Pi},Contours->{0},ContourStyle->Opacity[0],Mesh->None,BoundaryStyle->{1->None,2->None,{1,2}->{{Black,Tube[0.008],Opacity[0.5]}}}],ContourPlot3D[{x==0,y==0},{x,-Pi,Pi},{y,-1,2},{z,-Pi,Pi},Contours->{0},ContourStyle->Opacity[0],Mesh->None,BoundaryStyle->{1->None,2->None,{1,2}->{{Black,Tube[0.008],Opacity[0.5]}}}],ContourPlot3D[{z==0,x==0},{x,-Pi,Pi},{y,-1,2},{z,-Pi,Pi},Contours->{0},ContourStyle->Opacity[0],Mesh->None,BoundaryStyle->{1->None,2->None,{1,2}->{{Black,Tube[0.008],Opacity[0.5]}}}],ImageSize->600],{T,0.0001,2 Pi}]

Vediamo che dobbiamo considerare solo metà della figura E (ad esempio, x≥0) altrimenti contiamo tutti i punti due volte. Per cui, per il calcolo del volume, troviamo l’ascissa del baricentro della figura (SubPlus[E]):=E⋂{x≥0} (la distanza dall’asse di rotazione). Sarà Vol=2π(((∫_(SubPlus[E]))xdxdy)/((∫_(SubPlus[E]))dxdy))(∫_(SubPlus[E]))dxdy=2π(∫_(SubPlus[E]))xdxdy. Usiamo il cambio di variabile x=θ+sin(θ)

Integrate[(t+Sin[t]) (1+Cos[t]) (1+Cos[t]),{t,0,Pi}]

Vol=2 π (-(4/3)+((3 (π^2))/4))

Per quanto riguarda l’area superficiale, vediamo che la superficie è composta dalla superficie di rotazione della cicloide γ e dal disco di base. Esso ha raggio π, quindi area (π^3). L’area della superficie di rotazione si trova moltiplicando 2π (giro completo) per l’ascissa del baricentro della curva γ moltiplicata per la lunghezza della curva ovvero Area=2π(((∫_γ)xds)/((∫_γ)ds))(∫_γ)ds=2π(∫_γ)xds. La parametrizzazione la abbiamo già

FullSimplify[Norm[D[{t+Sin[t],1+Cos[t]},t]],Assumptions->t∈Reals]

Integrate[(t+Sin[t]) 2 Abs[Cos[(t/2)]],{t,0,Pi}]

Sup=2 π (4/3) (-4+3 π)+(π^3)

Campi radiali

Un campo radiale è conservativo: F((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n]))=g(|X|)((x/(|X|))), dove x=((Subscript[x, 1]),... ,(Subscript[x, n])). Un potenziale U:(ℝ^n)->ℝ tale che F=∇U è f(|x|), dove f è tale che f ’=g (g di classe (C^0)  ad esempio)

Grad[f[(Sqrt[((Subscript[x, 1])^2)+((Subscript[x, 2])^2)+((Subscript[x, 3])^2)+((Subscript[x, 4])^2)])],{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}]

L’integrale di linea di un campo conservativo non dipende dal particolare percorso ma solo dal punto iniziale e finale

Show[VectorDensityPlot[{Cos[(Sqrt[(x^2)+(y^2)])] (x/(Sqrt[(x^2)+(y^2)])),Cos[(Sqrt[(x^2)+(y^2)])] (y/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))},{x,-4,3},{y,-3,3}],ParametricPlot[{t Cos[t],t Sin[t]},{t,0,Pi},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{-(t^2) Pi,-(t^2)+ t},{t,0,1},PlotStyle->{Red,Thick}],ListPlot[{{0,0},{-Pi,0}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],ImageSize->400]

Integrate[(Cos[(Sqrt[(((t Cos[t]))^2)+(((t Sin[t]))^2)])] ((t Cos[t])/(Sqrt[(((t Cos[t]))^2)+(((t Sin[t]))^2)])))*(-t Sin[t]+Cos[t])+(Cos[(Sqrt[(((t Cos[t]))^2)+(((t Sin[t]))^2)])] ((t Sin[t])/(Sqrt[(((t Cos[t]))^2)+(((t Sin[t]))^2)])))*(t Cos[t]+Sin[t]),{t,0,Pi}]

Integrate[(-((π (t^2) Cos[(Sqrt[(π^2) (t^4)+(((t-(t^2)))^2)])])/(Sqrt[(π^2) (t^4)+(((t-(t^2)))^2)])))*(-2 t Pi)+((((t-(t^2)) Cos[(Sqrt[(π^2) (t^4)+(((t-(t^2)))^2)])])/(Sqrt[(π^2) (t^4)+(((t-(t^2)))^2)])))*(-2 t+1),{t,0,1}]

-Sin[Pi]+Sin[0]